Mandelbulb con puntos #
Conjunto de Mandelbrot #
El conjunto de Mandelbrot es el más estudiado de los fractales. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Este conjunto se define en el plano complejo fijando un número complejo c cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
\[{\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0\in \mathbb {C} &{\text{(término inicial)}}\qquad \\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c&{\text{(sucesión recursiva)}}\end{cases}}}\]Si asignamos el color negro a los puntos c que dan lugares a sucesiones acotadas y otros colores a los demás puntos, según lo rápido que tiendan al infinito, la representación obtenida para el conjunto de Mandelbrot es:
Si hacemos zoom en diferentes partes del conjunto podemos encontrar imágenes como éstas:
Como vemos estas imagenes solo se puden representar en dos dimenciones ya uqe se trabajan con numeros complejos pero para hacer una reprecentacion en tres dimenciones se puden trabajar con cuaterniones o numeros bicomplejos.
Mandelbulb #
El Mandelbulb es un fractal tridimensional , construido por primera vez en 1997 por Jules Ruis y desarrollado en 2009 por Daniel White y Paul Nylander usando coordenadas esféricas.
Fórmula de White y Nylander para la " n -ésima potencia" del vector \[{\displaystyle \mathbf {v} =\langle x,y,z\rangle }\] en ℝ 3 es \[{\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ) ,\cos(n\theta )\rangle ,}{\displaystyle \mathbf {v} ^{n}:=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ) ,\cos(n\theta )\rangle ,}\] dónde \[{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}} ,} {\displaystyle \phi =\arctan {\frac {y}{x}}=\arg(x+yi) ,} {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}=\arccos {\frac {z}{r}}.}\]